Một nhóm 10 học sinh gồm 5 học sinh nam trong đó có An và 5 học sinh nữ trong đó có Bình được xếp ngồi vào 10 cái ghế trên một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nam và nữ ngồi xen kẽ, đồng thời An không ngồi cạnh Bình?
A. 16.(4!)2;
B. 16.8!;
C. 32.(4!)2;
D. 32.8!.
Đáp án đúng là: C
Xếp 10 học sinh sao có nam nữ ngồi xen kẽ.
Xếp 5 học sinh nam có 5! cách, xếp 5 học sinh nữ vào 5 vị trí còn lại có 5! cách.
Đổi chỗ nam và nữ có 2 cách.
Suy ra có 2.(5!)2 cách xếp 10 học sinh sao có nam nữ ngồi xen kẽ.
* Xếp 8 học sinh không có An và Bình trước:
• TH1:
+ Học sinh nam đứng đầu hàng, có (4!)2 cách.
+ Xếp An và Bình vào 1 trong 9 vị trí gồm 7 vị trí giữa 2 học sinh liền kề nhau và 2 vị trí biên. Ứng với mỗi vị trí có 1 cách xếp An và Bình sao cho thỏa mãn yêu cầu, do đó có 9 cách xếp.
Vậy có 9.(4!)2 cách.
• TH2:
+ Học sinh nữ đứng đầu hàng, tương tự TH1 có 9.(4!)2 (cách).
Suy ra số cách xếp 10 học sinh xen kẽ mà An luôn cạnh Bình là 2.9.(4!)2 (cách).
Vậy số cách sắp xếp nam và nữ ngồi xen kẽ, đồng thời An không ngồi cạnh Bình là:
2.(5!)2 – 2.9.(4!)2 = 2.5.5.(4!)2 – 18.(4!)2 = 32.(4!)2 (cách)