Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là $6\sqrt{3}{\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}cm}}^3$. Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu?

A. Cạnh đáy bằng $2\sqrt{6}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}cm}$ và cạnh bên bằng $1\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}cm}$. 

D. Cạnh đáy bằng $4\sqrt{3}\text{\hspace{0.17em}cm}$ và cạnh bên bằng $\frac{1}{2}\text{\hspace{0.17em}cm}$.

Chọn B

Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ có độ dài $AB=x$, $A{A}^{\text{'}}=h$.
Khi đó $S_{\Delta ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2$ và $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=S_{ABC}.A{A}^{\text{'}}=\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}h$.
Theo giả thiết $\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}h=6\sqrt{3}\Rightarrow h=\frac{24}{x^2}$.
Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của khối lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ là nhỏ nhất.
Gọi $S_{tp}$ là tổng diện tích các mặt của khối lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$, ta có:
$S_{tp}=2S_{\Delta ABC}+3S_{AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^2+3hx=\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^2+\frac{72}{x}$
Khảo sát $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^2+\frac{72}{x}$ trên $\left(0;+\infty \right)$, ta được $f\left(x\right)$ nhỏ nhất khi $x=2\sqrt{3}$.
Với $x=2\sqrt{3}\Rightarrow h=2\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}cm}$.