Một người cần đi từ khách sạn bên bờ biển A đến hòn đảo C. Biết rằng khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là 10km, khoảng cách từ khách sạn A đến điểm B trên bờ gần đảo C nhất là 40km. Người đó có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy (như hình vẽ bên). Biết kinh phí đi đường thủy là 5USD/km, đi đường bộ là 3USD/km. Hỏi người đó phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu để kinh phí nhỏ nhất? ( $AB=40\text{\hspace{0.17em}km}$,$BC=10\text{\hspace{0.17em}km}$ )

Đặt $AD=x\text{\hspace{0.17em}km}$, $x\in \left[0;40\right]$ $\Rightarrow BD=40-x$$\Rightarrow CD=\sqrt{{\left(40-x\right)}^2+{10}^2}$.
Tổng kinh phí đi từ A đến C là $f\left(x\right)=x.3+\sqrt{{\left(40-x\right)}^2+{10}^2}.5$.
$f\left(x\right)=3x+5\sqrt{x^2-80x+1700}$
$f^{\text{'}}\left(x\right)=3+5\frac{2x-80}{2\sqrt{x^2-80x+1700}}$ $\iff f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{3\sqrt{x^2-80x+1700}+5x-200}{\sqrt{x^2-80x+1700}}$.

$f^{\text{'}}\left(x\right)=0$$\iff 3\sqrt{x^2-80x+1700}=200-5x$$\iff x=\frac{65}{2}$
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=\frac{65}{2}$