Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A có khoảng cách đến bờ biển AB=5km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng B=7km. Người canh hải đăng có thể chèo đò từ A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc $4km/h$ rồi đi bộ đến C với vận tốc $6km/h.$ Vị trí điểm M cách B một khoảng bao nhiêu để người đó đi đến kho nhanh nhất ? ( xem hình vẽ).

Chọn B
Đặt $BM=x\Rightarrow MC=BC-BM=7-x$
Tam giác ABM vuông tại B, có $AM=\sqrt{A{B}^2+B{M}^2}=\sqrt{x^2+25}$
Thời gian đi từ A đến M là $\frac{\sqrt{x^2+25}}{4}$, thời gian đi từ M đến C là $\frac{7-x}{6}$.
Tổng thời gian đi từ A đến C là $\frac{\sqrt{x^2+25}}{4}$+$\frac{7-x}{6}$.
Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x^2+25}}{4}+\frac{7-x}{6}$ trên khoảng $\left(0;7\right)$, có $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{x}{4\sqrt{x^2+25}}-\frac{1}{6}.$
Phương trình $f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left\{\begin{array}{l}0<x<7\\ 2\sqrt{x^2+25}=3x\end{array}\right.\iff x=2\sqrt{5}$