Một lớp học có 30 học sinh gồm có nam và nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để tham gia

Đề bài: Một lớp học có 30 học sinh gồm có nam và nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để tham gia hoạt động của Đoàn trường. Xác suất chọn được 2 nam và 1 nữ là $\frac{12}{29}$ . Tính số học sinh nữ của lớp.

A. 16;

B. 14;

C. 13;

D. 17.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi n là số học sinh nam của lớp (n ∈ ℕ^*; n ≤ 28)

⇒ Số học sinh nữ là 30 – n

Ta có: Mỗi lần chọn 3 học sinh từ 30 học sinh cho ta một tổ hợp chập 3 của 30 nên $\text{n}\left(\text{Ω}\right){\text{ = C}}_{\text{30}}^{\text{3}}\text{= 4060}$

Gọi N là biến cố:” Chọn được 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ”

Việc chọn 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ có thể xem 1 công việc 2 công đoạn:

- Công đoạn 1: chọn 2 học sinh nam có ${\text{C}}_{\text{n}}^{\text{2}}$

- Công đoạn 2: Chọn 1 học sinh nữ có ${\text{C}}_{\text{30-n}}^{\text{1}}\text{= 30 – n}$  cách

$$\begin{gathered} \Rightarrow \text{ n}\left(\text{N}\right)\text{ = }\left(\text{30 – n}\right){\text{ . C}}_{\text{n}}^{\text{2}} \\ \Rightarrow \text{ P}\left(\text{N}\right)\text{ = }\frac{\text{n(N)}}{\text{n(Ω)}}\text{ = }\frac{\left(\text{30 - - n}\right){\text{ . C}}_{\text{n}}^{\text{2}}}{\text{4060}}\text{ = }\frac{\text{12}}{\text{29}} \\ \Rightarrow \left(\text{30 – n}\right){\text{ . C}}_{\text{n}}^{\text{2}}\text{ = 1680} \end{gathered}$$

Mà ${\text{C}}_{\text{n}}^{\text{2}}\text{ = }\frac{\text{n!}}{\text{2!(n - 2)!}}\text{ = }\frac{\text{(n-2)!.(n - 1) . n}}{\text{2!(n - 2)!}}$

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}\Rightarrow \left(\text{30 – n}\right)\text{ . }\frac{\text{n(n - 1)}}{\text{2}}\text{ = 1680}\\ \Rightarrow -n^3 +31n^2 -30n+3360=0\end{array} \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{c}{n}_1\approx -\mathrm{8,82}\\ n_2\approx \mathrm{23,82}\\ n_3=16\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vì $n \in {\mathbb{N}}^{*};n \le 28$ nên n = 16

Vậy số học sinh nữ của lớp là : 30 – 16 = 14 (học sinh).