Lời giải: Ta có: sinx + cosx =  

Đề bài: Tìm hệ số của x⁶ trong khai triển ${\left(\frac{1}{x}+x^3\right)}^{3n+1}$  với x ≠ 0, biết n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện $3C_{n+1}^2+n{P}_2=4A_n^2$ .

A. 210                  

B. 252                   

C. 120

D. 45

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: n≥ 2

Ta có:

$\begin{array}{l}3C_{n+1}^2+n{P}_2=4A_n^2\\ \iff 3.\frac{\left(n+1\right)!}{\left(n-1\right)!.2!}+2n=4.\frac{n!}{\left(n-2\right)!}\\ \iff \frac{3}{2}n\left(n+1\right)+2n=4n\left(n-1\right)\\ \iff 3\left(n+1\right)+4=8\left(n-1\right)\\ \iff 3n+3+4=8n-8\\ \iff 5n=15\iff n=3\end{array}$

Với n = 3, theo khai triển nhị thức Newton ta có:

$$\begin{gathered} {\left(\frac{1}{x}+x^3\right)}^{10}=\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k.{\left(\frac{1}{x}\right)}^{10-k}.{\left(x^3\right)}^k \\ =\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k.\frac{x^{3k}}{x^{10-k}}=\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k.x^{4k-10} \end{gathered}$$

Hệ số của số hạng chứa x⁶ ứng với 4k – 10 = 6 ⇒ k = 4

Hệ số cần tìm là: $C_{10}^4=210$