Khảo sát sự biên sự biến thiên của hàm số:

\(y = f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}\) trên khoảng (1; +∞).

Lời giải

Với mọi x₁, x₂ Î (1; +∞) và x₁ ≠ x₂, ta có:

\( \Rightarrow {y_1} - {y_2} = \frac{1}{{{x_1} - 1}} - \frac{1}{{{x_2} - 1}}\)

\( = \frac{{\left( {{x_2} - 1} \right) - \left( {{x_1} - 1} \right)}}{{\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right)}} = - \frac{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}}{{\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right)}}\)

\( \Rightarrow I = \frac{{{y_1} - {y_2}}}{{{x_1} - {x_2}}} = - \frac{1}{{\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right)}}\)

Do x₁, x₂ Î (1; +∞) Þ x₁ − 1 > 0; x₂ − 1 > 0

Þ (x₁ − 1)(x₂ − 1) > 0

\( \Rightarrow I = - \frac{1}{{\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right)}} < 0\)

Vậy hàm số nghịch biến trên (1; +∞).