Khai triển đa thức P(x) = (2x – 1)^1000 ta được P(x

Câu 23: Khai triển đa thức P(x) = (2x – 1)¹⁰⁰⁰ ta được P(x) = a₁₀₀₀ x¹⁰⁰⁰ + a₉₉₉ x⁹⁹⁹ + … + a₁x + a_0.

Trả lời

Ta có

P(x) = a1000 x1000 + a999 x999 + … + a1x + a0

Cho x = 1 ta được

P(1) = a1000 + a999 + … + a1 + a0

Mặt khác

P(x) = (2x – 1)1000

Do đó P(1) = (2 . 1 – 1)1000 = 1

Từ đó suy ra P(1) = a1000 + a999 + … + a1 + a0 = 1

Do đó a1000 + a999 + … + a1 = 1 – a0

Mà là số hàng không chứa x trong khai triển P(x) = (2x – 1)1000

Nên $a_0=C_{1000}^{1000}{\left(2x\right)}^0{(-1)}^{1000}=1$.

Vậy a1000 + a999 + … + a1 = 0.