Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định, liên tục có đạo hàm trên đoạn $\left[a;b\right]$ (với $a<b$). Xét các khẳng định sau:
(I). Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0,\forall x\in \left(a;b\right)$ thì hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng $\left(a;b\right)$.
(II). Giả sử $f\left(a\right)>f\left(c\right)>f\left(b\right),\forall c\in \left(a;b\right)$ suy ra hàm số nghich biến trên $\left(a;b\right)$.
(III). Giả sử phương trình $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ có nghiệm $x=m$. Khi đó nếu hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên $\left(m;b\right)$ thì hàm số $f\left(x\right)$ nghịch biến trên $\left(a;m\right)$.
(IV). Nếu hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng $\left(a;b\right)$ thì $f^{\text{'}}\left(x\right)>0,\forall x\in \left(a;b\right)$
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

Chọn C.
(I). Sai, vì: Thiếu điều kiện $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm.
(II). Sai.
(III). Sai, ví dụ: Xét hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{x^3}{3}-x^2+x-5$
Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=x^2-2x+1$. Cho $f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff x^2-2x+1\iff x=1$
Khi đó phương trình $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ có nghiệm $x_0=1$ nhưng đây là nghiệm kép nên không đổi dấu khi qua $x_0=1$
(III). Sai.
Sửa lại cho đúng nếu hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng $\left(a;b\right)$ thì $f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0,\forall x\in \left(a;b\right)$
Vậy có 1 mệnh đề đúng.