Hàm số y=(x+m)^3+(x+n)^3+x^3 ( tham số m, n) đồng biến trên khoảng
Hàm số y=(x+m)3+(x+n)3-x3 ( tham số m, n) đồng biến trên khoảng (−∞;+∞). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=4(m2+n2)−m−n bằng
A. −116
B. -16
C. 4
D. 14
Chọn A
Ta có y'=3(x+m)2+3(x+n)2−3x2=3[x2+2(m+n)x+m2+n2]
Hàm số đồng biến trên (−∞; +∞) ⇔{a>0Δ≤0⇔mn≤0
TH1: mn=0⇔[m=0n=0
Do vai trò của m,n là như nhau nên ta chỉ cần xét trường hợp m=0
⇒P=4n2−n=(2n−12)−116≥−116(1)
TH2: m n<0⇔m>0; n<0 (Do vai trò m,n của như nhau).
Ta có P=(2m−14)2−116+4n2+(−n)≥−116(2)
Từ (1),(2) ta có Pmin=−116 . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi m=18;n=0 hoặc m=0;n=18
Ta có y'=3(x+m)2+3(x+n)2−3x2=3[x2+2(m+n)x+m2+n2]
Hàm số đồng biến trên (−∞; +∞) ⇔{a>0Δ≤0⇔mn≤0
TH1: mn=0⇔[m=0n=0
Do vai trò của m,n là như nhau nên ta chỉ cần xét trường hợp m=0
⇒P=4n2−n=(2n−12)−116≥−116(1)
TH2: m n<0⇔m>0; n<0 (Do vai trò m,n của như nhau).
Ta có P=(2m−14)2−116+4n2+(−n)≥−116(2)
Từ (1),(2) ta có Pmin=−116 . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi m=18;n=0 hoặc m=0;n=18