Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z sao cho số phức w=(z+3i-1)/(z+3+i) là số thuần ảo. Xét các số phức z1, z2 thuộc S thỏa mãn |z1 - z2| = 2,

A. 10

B. 20

C. $2\sqrt{26}$

D. $4\sqrt{26}$

Trả lời

Đáp án đúng là: C

Ta có: $z=x+yi\left(x,y\in ℝ\right)$ .

$w=\frac{z+3i-1}{z+3+i}=\frac{(x-1)+(y+3)i}{(x+3)+(y+1)i}=\frac{\left[(x-1)+(y+3)i\right]\left[(x+3)-(y+1)i\right]}{\left[(x+3)+(y+1)i\right]\left[(x+3)-(y+1)i\right]}$

$\Rightarrow w=\frac{\left(x-1\right)\left(x+3\right)+\left(y+3\right)\left(y+1\right)+\left[\left(x+3\right)\left(y+3\right)-\left(x-1\right)\left(y+1\right)\right]i}{{\left(x+3\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2}$

w là số thuần ảo $\iff (x-1)(x+3)+(y+3)(y+1)=0\iff x^2+y^2+2x+4y=0$ .

Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của $z_1,z_2$  ta có

$M,N\in \left(C\right):x^2+y^2+2x+4y=0$

(C) có tâm I(-1;-2), bán kính $R=\sqrt{5}$ .

Các số phức $z_1,z_2\in S$  thỏa mãn

$\left|z_1-z_2\right|=2\iff \sqrt{{\left(x_N-x_M\right)}^2+{\left(y_N-y_M\right)}^2}=2\iff MN=2$

Gọi A(0;3) nên ta có $IA=\sqrt{{\left(0+1\right)}^2+{\left(3+2\right)}^2}=\sqrt{26}$ .

Xét $P={\left|z_1-3i\right|}^2-{\left|z_2-3i\right|}^2=A{M}^2-A{N}^2$

$={\left(\overrightarrow{AM}\right)}^2-{\left(\overrightarrow{AN}\right)}^2={\left(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IM}\right)}^2-{\left(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IN}\right)}^2$

$=I{A}^2+I{M}^2+2\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{IM}-I{A}^2-I{N}^2-2\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{IN}=2\overrightarrow{AI}\left(\overrightarrow{IM}-\overrightarrow{IN}\right)$

$=2\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{NM}=2.IA.MN.\cos \left(\overrightarrow{AI},\overrightarrow{NM}\right)\le 2.IA.MN=2.\sqrt{26}.2=2\sqrt{26}$

(Do $M,N\in \left(C\right)\Rightarrow IM=IN$ ).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai vectơ $\overrightarrow{AI},\overrightarrow{NM}$ cùng hướng.

Vậy giá trị lớn nhất của $P={\left|z_1-3i\right|}^2-{\left|z_2-3i\right|}^2$  bằng $2\sqrt{26}$ .