Cho hàm số f(x) = e^2x + 1 khi x >=0 và 4x + 2 khi x < 0. Giả sử F(x) là nguyên hàm của f(x) trên thoả mãn F(-2) = 5. Biết rằng
42
01/12/2024
Cho hàm số f(x)={e2x+1 khi x≥04x+2 khi x<0 . Giả sử F(x) là nguyên hàm của f(x) trên thoả mãn F(-2) = 5. Biết rằng F(1)+3F(−1)=ae2+b (trong đó a,b là các số hữu tỉ). Khi đó a + b bằng
A. 8
B. 5
C. 4
D. 10
Trả lời
Đáp án đúng là: B
Ta có F(x)={∫(e2x+1)dx=e2x2+x+C1 khi x≥0∫(4x+2)dx=2x2+2x+C2 khi x<0 .
Do F(−2)=5⇔2⋅(−2)2+2⋅(−2)+C2=5⇔C2=1 .
Do F(x) liên tục tại x = 0 nên limx→0+F(x)=limx→0−F(x)=F(0)
⇔e2⋅02+0+C1=2⋅02+2⋅0+C2⇔12+C1=1⇔C1=12
Do đó F(x)={e2x2+x+1 2 khi x≥02x2+2x+1 khi x<0 .
Suy ra F(1)+3F(−1)=12e2+92 . Khi đó a=12 ; b=92 .
Vậy a + b = 5.
