Cho hàm số f(x) = e^2x + 1 khi x >=0 và 4x + 2 khi x < 0. Giả sử F(x) là nguyên hàm của f(x) trên thoả mãn F(-2) = 5. Biết rằng

A. 8

B. 5

C. 4

D. 10  

Trả lời

Đáp án đúng là: B

Ta có $F\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\int \left(e^{2x}+1\right)\text{d}x=\frac{e^{2x}}{2}+x+C_1& \text{ khi }x\ge 0\\ \int \left(4x+2\right)\text{d}x=2x^2+2x+C_2& \text{ khi }x<0\end{array}\right.$ .

Do $F\left(-2\right)=5\iff 2\cdot {\left(-2\right)}^2+2\cdot \left(-2\right)+C_2=5\iff C_2=1$ .

Do F(x)  liên tục tại x = 0 nên $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }F\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }F\left(x\right)=F\left(0\right)$

$\iff \frac{e^{2\cdot 0}}{2}+0+C_1=2\cdot 0^2+2\cdot 0+C_2\iff \frac{1}{2}+C_1=1\iff C_1=\frac{1}{2}$

Do đó $F\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{e^{2x}}{2}+x+\frac{1}{2}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}x\ge 0\\ 2x^2+2x+1\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}x<0\end{array}\right.$ .

Suy ra $F\left(1\right)+3F\left(-1\right)=\frac{1}{2}{e}^2+\frac{9}{2}$ . Khi đó $a=\frac{1}{2}$ ; $b=\frac{9}{2}$ .

Vậy a + b = 5.