Cho hình lăng trụ đứng ABC/A’B’C’ có đáy là tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = a. Gọi M là trung điểm của cạnh AA’

A. $\frac{a^3}{8}$

B. $\frac{a^3}{4}$

C. $\frac{a^3\sqrt{2}}{24}$

D. $\frac{a^3\sqrt{2}}{8}$

Trả lời

Đáp án đúng là: B

Vì ABC là tam giác vuông cân tại A, a.

$\Rightarrow AB=AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{4}{a}^2$

Vì $\Delta ABC$  và $\Delta A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$  cân tại A và A' nên ta dễ dàng có được $\Delta M{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}=\Delta M{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}=\Delta MAC=\Delta MAB$ .

Suy ra $MB=MC=M{B}^{\text{'}}=M{C}^{\text{'}}$ .

Gọi I, I' là trung điểm của BC và B'C'.

Suy ra$MI\perp BC$ ; $M{I}^{\text{'}}\perp B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$  và MI = MI'.

Ta có: $\left(MBC\right)\cap \left(M{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)=Mx$  với $Mx\text{//}BC\text{//}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ .

Trong (MBC) có: $\left\{\begin{array}{l}MI\perp BC\\ BC\text{//}Mx\end{array}\right.\Rightarrow MI\perp Mx$ .

Tương tự ta cũng có: $M{I}^{\text{'}}\perp Mx$ .

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\left(MBC\right)\cap \left(M{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)=Mx\\ MI\perp Mx;MI\subset \left(MBC\right)\\ M{I}^{\text{'}}\perp Mx;M{I}^{\text{'}}\subset \left(M{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)\end{array}\right.$ .

Suy ra nên góc giữa hai mặt phẳng (MBC) và (MB'C') bằng $\widehat{IM{I}^{\text{'}}}$ .

Mà hai mặt phẳng (MBC) và (MB'C') vuông góc với nhau nên $\widehat{IM{I}^{\text{'}}}=90°$ .

Ta có $\Delta IM{I}^{\text{'}}$  vuông cân tại  M $\Rightarrow \widehat{M{I}^{\text{'}}I}=45°\Rightarrow \widehat{M{I}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}=45°$ .

Mà $\widehat{M{A}^{\text{'}}{I}^{\text{'}}}=90°\Rightarrow \widehat{A^{\text{'}}M{I}^{\text{'}}}=45°$  nên $\Delta M{A}^{\text{'}}{I}^{\text{'}}$  vuông cân tại A'.

Vì $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$  là hình lăng trụ có đáy là tam giấcBC là tam giác vuông cân tại A, BC = a nên $AI=A^{\text{'}}{I}^{\text{'}}=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$

$\Rightarrow M^{\text{'}}A=A^{\text{'}}{I}^{\text{'}}=\frac{a}{2}\Rightarrow A{A}^{\text{'}}=2M{A}^{\text{'}}=a$

Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là:

 $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=A{A}^{\text{'}}.S_{\Delta ABC}=A{A}^{\text{'}}\cdot \frac{1}{2}\cdot A^{\text{'}}{I}^{\text{'}}\cdot B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}=a\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{a}{2}\cdot a=\frac{a^3}{4}.$