Cho hình nón (N) có đỉnh S, chiều cao h = 3. Mặt phẳng (P) qua đỉnh S cắt hình nón (N) theo thiết diện là tam giác đều

A. $81\pi .$

B. $27\pi .$

C. $36\pi .$

D. $12\pi .$

Trả lời

Đáp án đúng là: B

Ta có: SO = 3.

Kẻ $OH\perp AB\Rightarrow AH=HB$ .

Kẻ $OK\perp SH$  (1)

Dễ dàng có được $\left\{\begin{array}{l}SO\perp AB\\ SH\perp AB\end{array}\right.\Rightarrow AB\perp \left(SHO\right)\Rightarrow AB\perp OK$  (2)

Từ (1) và (2) ta có: $OK\perp \left(SAB\right)$ .

$\Rightarrow d\left(O;\left(P\right)\right)=d\left(O;\left(SAB\right)\right)=OK=\sqrt{6}$.

Tam giác vuông SOH vuông tại O ta có: 

$\frac{1}{O{K}^2}=\frac{1}{S{O}^2}+\frac{1}{O{H}^2}\Rightarrow OH=\sqrt{\frac{S{O}^2\cdot O{K}^2}{S{O}^2-O{K}^2}}=\sqrt{\frac{3^2\cdot {\left(\sqrt{6}\right)}^2}{3^2-{\left(\sqrt{6}\right)}^2}}=3\sqrt{2}$

Tam giác vuông SOH vuông tại O có 

$SH=\sqrt{S{O}^2+O{H}^2}=\sqrt{3^2+{\left(3\sqrt{2}\right)}^2}=3\sqrt{3}$

Tam giác vuông SAH vuông tại H có

$SH=\sqrt{S{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{A{B}^2-\frac{A{B}^2}{4}}=AB\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AB\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\Rightarrow AB=6$

Xét tam giác vuông OAH, ta có:

$OA=\sqrt{H{A}^2+O{H}^2}=\sqrt{{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2+O{H}^2}=\sqrt{3^2+{\left(3\sqrt{2}\right)}^2}=3\sqrt{3}$

Vậy thể tích khối nón giới hạn bởi hình nón (N) là

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot O{A}^2\cdot SO=\frac{1}{3}\pi \cdot 27\cdot 3=27\pi$

.