Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên dương (x;y) với y<=20 thỏa mãn: log2023((x+1)/(y+1)) + x^2y^2 + 2xy^2 <=(y+2)y^3 ?

A. 380

B. 210

C. 420

D. 200

Trả lời

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${\log }_{2023}\frac{x+1}{y+1}+x^2{y}^2+2x{y}^2\le \left(y+2\right)y^3$

$\iff \frac{1}{2}{\log }_{2023}\frac{{\left(x+1\right)}^2}{{\left(y+1\right)}^2}+y^2\left(x^2+2x+1\right)-y^2\le y^2\left(y^2+2y+1\right)-y^2$

$\iff \frac{1}{2}{\log }_{2023}\frac{y^2{\left(x+1\right)}^2}{y^2{\left(y+1\right)}^2}+y^2{\left(x+1\right)}^2\le y^2{\left(y+1\right)}^2$

$\iff \frac{1}{2}{\log }_{2023}\left[y^2{\left(x+1\right)}^2\right]+y^2{\left(x+1\right)}^2\le \frac{1}{2}{\log }_{2023}\left[y^2{\left(y+1\right)}^2\right]+y^2{\left(y+1\right)}^2\left(1\right)$.

Xét hàm số $f\left(t\right)=\frac{1}{2}{\log }_{2023}t+t$ .

Ta có $f^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\ln 2023.t}+1>\mathrm{0,}\forall t>0$ .

Nên f(t)  đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$ , khi đó:

$\left(1\right)\iff y^2{\left(x+1\right)}^2\le y^2{\left(y+1\right)}^2\iff x+1\le y+1\iff x\le y\left(x,y>0\right)$.

Với  y = n $\left(1\le n\le 20\right)$  thì ta có được n  giá trị nguyên dương x  tương ứng.

Nên số cặp nguyên dương (x;y)  thỏa mãn là $\sum _{k=1}^{20}k=210$ .