Gọi d là đường thẳng đi qua A(1;0) và có hệ số góc m

Đề bài: Gọi d là đường thẳng đi qua A(1;0) và có hệ số góc m. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để d cắt đồ thị hàm số $y=\frac{x+2}{x-1}$  (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị?

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d có dạng y = m(x – 1) = mx – m.

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\frac{x+2}{x-1}=mx-m$ với (x ≠ 1)

⇔ x + 2 = (mx – m)(x – 1)

⇔ mx² – (2m + 1)x + m – 2 = 0 (1)

Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁ < x₂ thỏa mãn x₁ < 1 < x₂ hay (x₁ – 1)(x₂ – 1) < 0

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}m\ne 0\\ \Delta >0\\ \left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)<0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}m\ne 0\\ 12m+1>0\\ x_1{x}_2-\left(x_1+x_2\right)+1<0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}m\ne 0\\ m>-\frac{1}{12}\\ \frac{m-2}{m}-\frac{2m+1}{m}+1=-\frac{3}{m}<0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}m\ne 0\\ m>-\frac{1}{12}\\ m>0\end{array}\right. \end{gathered}$$

⇔ m > 0

Vậy m > 0.