Giải phương trình: x⁵ + x⁴ – x³ + x² – x + 2 = 0.

x⁵ + x⁴ - x³ + x² – x + 2 = 0

⇔ x⁵ + 2x⁴ – x⁴ – 2x³ + x³ + 2x² – x² – 2x + x + 2 = 0

⇔ x⁴(x + 2) – x³(x + 2) + x²(x + 2) – x(x + 2) + (x + 2) = 0

⇔ (x + 2)(x⁴ – x³ + x² – x + 1) = 0 (1)

Ta xét phương trình: x⁴ – x³ + x² – x + 1 = 0                (2)

\[ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - \frac{1}{2}x} \right)^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}x - \frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} + \frac{1}{3} = 0\]

Do \[{\left( {{x^2} - \frac{1}{2}x} \right)^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}x - \frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} + \frac{1}{3} > 0\,\,\,\forall x\]

Nên phương trình (2) vô nghiệm

Suy ra phương trình (1) tương đương với:

x + 2 = 0 ⇔ x = –2

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}.