Giải phương trình (x – 5)^4 + (x – 3)^4 = 16

Câu 21: Giải phương trình (x – 5)⁴ + (x – 3)⁴ = 16.

Trả lời

Đặt x – 4 = t

Ta có phương trình:

(t – 1)⁴ + (t + 1)⁴ = 16

⇔ (t² – 2t + 1)² + (t² + 2t + 1)² = 16

⇔ t⁴ + 4t² + 1 + 2t² – 4t³ – 4t + t⁴ + 4t² + 1 + 2t² + 4t³ + 4t – 16 = 0

⇔ 2t⁴ + 12t² – 14 = 0

⇔ t⁴ + 6t² – 7 = 0

⇔ t⁴ + 7t² – t² – 7 = 0

⇔ t²(t² + 7) – (t² + 7) = 0

⇔ (t² + 7)(t² – 1) = 0

⇔ t² – 1 = 0 (vì t² + 7 > 0 với mọi t)

⇔ (t – 1)(t + 1) = 0

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}t-1=0\\ t+1=0\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=-1\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x-4=1\\ x-4=-1\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=5\\ x=3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {3; 5}.