Giải phương trình sinxcosx + 2(sinx + cosx) = 2

Đề bài: Giải phương trình sinxcosx + 2(sinx + cosx) = 2.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Đặt t = sinx + cosx = $\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$

Vì $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\in \left[-1;1\right]\Rightarrow t\in \left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]$

Ta có 

$$\begin{gathered} t^2={\left(\sin x+\cos x\right)}^2={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x+2\sin x\cos x \\ \Rightarrow \sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2} \end{gathered}$$

Khi đó, phương trình đã cho trở thành:

$$\begin{gathered} \frac{t^2-1}{2}+2t=2 \\ \iff t^2+4t-5 \\ \iff \left[\begin{array}{c}t=1\\ t=-5\left(l\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Với t = 1, ta được sinx + cosx = 1 $\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin \frac{\pi }{4}$

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{c}x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x+\frac{\pi }{4}=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{c}x=k2\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z} \end{gathered}$$