Giải phương trình: sinx + cosx = 1 - 1/2 sin2x

Đề bài: Giải phương trình: $\sin x+\cos x=1-\frac{1}{2}\sin 2x$ .

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Đặt sinx + cosx = t $\left(\left|t\right|\le \sqrt{2}\right)$

$$\begin{gathered} \Rightarrow {\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x+2\sin x.\cos x=t^2 \\ 1+\sin 2x=t^2\Rightarrow {\sin }^{2}x=t^2-1 \end{gathered}$$

Thay vào phương trình đã cho ta được:

$$\begin{gathered} t=1-\frac{1}{2}\left(t^2-1\right) \\ \iff 2t=2-\left(t^2-1\right) \\ \iff t^2+2t-3=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}t=1\left(tm\right)\\ t=-3\left(l\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Với t = 1, ta có: $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1$

$$\begin{gathered} \iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \iff \left[\begin{array}{c}x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x+\frac{\pi }{4}=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{c}x=k2\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$