Giải phương trình: \(\sin x + \cos x = 1 - \frac{1}{2}\sin 2x\).

Đặt sinx + cosx = t \(\left( {\left| t \right| \le \sqrt 2 } \right)\)

\( \Rightarrow {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x.\cos x = {t^2}\)

\(1 + \sin 2x = {t^2} \Rightarrow {\sin ^2}x = {t^2} - 1\)

Thay vào phương trình đã cho ta được:

\(t = 1 - \frac{1}{2}\left( {{t^2} - 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2t = 2 - \left( {{t^2} - 1} \right) \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1(tm)}\\{t = - 3(l)}\end{array}} \right.\)

Với t = 1, ta có: \(\sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x + \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = k2\pi }\\{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\end{array}} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).