Giải phương trình: (sin x/2 + cos x/2)^2 + căn 3 cosx = 2

Đề bài: Giải phương trình: ${\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)}^2+\sqrt{3}\cos x=2$ .

Trả lời

Hướng dẫn giải:

$$\begin{gathered} {\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)}^2+\sqrt{3}\cos x=2 \\ \iff 1+2\sin \frac{x}{2}.\cos \frac{x}{2}+\sqrt{3}\cos x=2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff \sin x+\sqrt{3}\cos x=1 \\ \iff \frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x (chia cả 2 vế cho 2) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff \cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}=\cos \frac{\pi }{3} \\ \iff x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}+k\pi \\ \iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$