Giải phương trình sau: sin^8 x + cos^8 x = 1/8

Đề bài: Giải phương trình sau: ${\sin }^{8}x+co{s}^{8}x=\frac{1}{8}$.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}{\sin }^{2}x+co{s}^{2}x=1\\ \Rightarrow {\sin }^{4}x+co{s}^{4}x={\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)}^2-2{\sin }^{2}x.co{s}^{2}x\\ =1-2{\sin }^{2}x.co{s}^{2}x\\ \Rightarrow {\sin }^{8}x+co{s}^{8}x={\left({\sin }^{4}x+co{s}^{4}x\right)}^2-2{\sin }^{4}x.co{s}^{4}x\\ =1+{\sin }^{4}x.co{s}^{4}x-4{\sin }^{2}x.co{s}^{2}x\\ =1+2{\sin }^{2}x.co{s}^{2}x.\left({\sin }^{2}x.co{s}^{2}x-2\right)\\ =1+\frac{{\sin }^{2}2x}{2}.\left(\frac{{\sin }^{2}2x}{4}-1\right)\end{array}$

Đặt t = sin²2x (0 < t < 1)

Phương trình đã cho có dạng:

$\begin{array}{l}1+\frac{t}{2}\left(\frac{t}{4}-2\right)=\frac{1}{8}\\ \iff 8+t^2-8t=1\\ \iff t^2-8t+7=0\\ \Rightarrow \left(t-1\right)\left(t-7\right)=0\\ \iff t=1\left(TM\right)\end{array}$

Với t = 1 ta có:

${\sin }^{2}2x=1\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.