Giải phương trình sau: 16,7.Pn = 2004.Pn – 5

Đề bài: Giải phương trình sau: 16,7.P_n = 2004.P_{n – 5}.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Ta có 16,7.P_n = 2004.P_{n – 5}  (Điều kiện: n ≥ 6).

⇔ 16,7.n! = 2004.(n – 5)!

⇔ 16,7.n.(n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4)(n – 5)! = 2004.(n – 5)!

⇔ (n – 5)!.[16,7.n.(n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4) – 2004] = 0

⇔ 16,7.n.(n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4) – 2004 = 0

⇔ n.(n – 1)(n – 4)(n – 2)(n – 3) – 120 = 0

⇔ n.(n² – 5n + 4)(n² – 5n + 6) – 120 = 0

⇔ (n³ – 5n² + 4n)(n² – 5n + 6) – 120 = 0

⇔ n⁵ – 5n⁴ + 6n³ – 5n⁴ + 25n³ – 30n² + 4n³ – 20n² + 24n – 120 = 0

⇔ n⁵ – 10n⁴ + 35n³ – 50n² + 24n – 120 = 0

⇔ (n⁵ – 5n⁴) – (5n⁴ – 25n³) + (10n³ – 50n²) + (24n – 120) = 0

⇔ n⁴.(n – 5) – 5n³.(n – 5) + 10n².(n – 5) + 24(n – 5) = 0

⇔ (n – 5)(n⁴ – 5n³ + 10n² + 24) = 0  (1)

Ta có $n^4-5n^3+10n^2+24={\left(n^2-\frac{5n}{2}\right)}^2+\frac{15}{4}{n}^2+24$ .

Ta có $\left\{\begin{array}{l}{\left(n^2-\frac{5n}{2}\right)}^2\ge \mathrm{0,}\forall n\ge 6\\ \frac{15}{4}{n}^2\ge \mathrm{0,}\forall n\ge 6\end{array}\right.$

$\Rightarrow {\left(n^2-\frac{5n}{2}\right)}^2+\frac{15}{4}{n}^2\ge \mathrm{0,}\forall n\ge 6$

$\iff {\left(n^2-\frac{5n}{2}\right)}^2+\frac{15}{4}{n}^2+24\ge 24>\mathrm{0,}\forall n\ge 6$.

Khi đó phương trình (1) tương đương với: n – 5 = 0.

⇔ n = 5 (nhận).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là n = 5.