Giải phương trình nghiệm nguyên 12x^2 + 6xy + 3y^2 = 28(x + y)

Trả lời

Lời giải

12x² + 6xy + 3y² = 28(x + y)

Û 3y² + 2y(3x − 14) + 12x² − 28x = 0 (1)

Ta xem (1) là phương trình bậc hai ẩn y thì (1) có nghiệm nguyên khi ∆' là số chính phương

Ta có: ∆' = (3x − 14)² − 3(12x² − 28x) = −27x² + 196 (2)

Þ −27x² + 196 = k² ≥ 0 Þ 27x² £ 196

Û x² £ 7

Mà x Î ℤ nên x Î {0; ±1; ±2}.

Lần lượt thử các giá trị của x vào (2) ta có:

+) Với x = 0 Þ ∆' = 196 = 14² (thỏa mãn) nên khi đó phương trình (1) trở thành

(1) Û 3y² − 28y = 0 \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\;\;\;\left( {TM} \right)\\y = \frac{{28}}{3}\;\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\]

+) Với x = ±1 Þ ∆' = 169 = 13² (thỏa mãn) nên khi đó

x = 1, phương trình (1) trở thành

(1) Û 3y² − 22y − 16 = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 8\;\;\;(TM)\\y = \frac{{ - 2}}{3}\;(KTM)\end{array} \right.\)

• Với x = −1, phương trình (1) trở thành

(1) Û 3y² − 34y + 40 = 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 10\;(TM)\\y = \frac{4}{3}\;\;(KTM)\end{array} \right.\)

•Với x = ±2 Þ ∆' = 88 (không thỏa mãn) nên khi đó không cho y là số nguyên.

Vậy cặp nghiệm nguyên (x; y) thỏa mãn là {(0; 0), (1; 8), (−1; 10)}.\(\)