Giải phương trình lượng giác: sin3x + cos3x - sinx + cosx = căn 2 cos2x

Đề bài: Giải phương trình lượng giác: sin3x+cos3x−sinx+cosx=√2cos2x .

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Phương trình đã cho tương đương với: (2sinx+2cosx−√2)cos2x=0

• TH1: cos2x=0⇔2x=π2+kπ⇔x=π4+kπ2 (k∈ℤ) .

• TH2: $2\sin x+2\cos x-\sqrt{2}=0$

$$\begin{gathered} \iff \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=\frac{1}{2} \\ \iff \cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)=\frac{1}{2} \\ \iff \left[\begin{array}{l}\frac{\pi }{4}-x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ \frac{\pi }{4}-x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{12}+k2\pi \\ x=\frac{7\pi }{12}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: $x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$ ; $x=-\frac{\pi }{12}+k2\pi$ ; $x=\frac{7\pi }{12}+k2\pi$  với $\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .