Giải phương trình lượng giác: sin^2 2x + sin^2 4x = sin^2 6x

Câu 29: Giải phương trình lượng giác: sin²2x + sin²4x = sin²6x.

Trả lời

Ta có sin²2x + sin²4x = sin²6x.

$\iff \frac{1-\cos 4x}{2}+\frac{1-\cos 8x}{2}=\frac{1-\cos 12x}{2}$

⇔ 1 – cos4x + 1 – cos8x = 1 – cos12x

⇔ (cos12x – cos4x) + (1 – cos8x) = 0

⇔ –2sin8x.sin4x + 2sin²4x = 0

⇔ –2sin4x.(sin8x – sin4x) = 0

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}\sin 4x=0\\ \sin 8x=\sin 4x\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}4x=k\pi \\ 8x=4x+k2\pi \\ 8x=\pi -4x+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right) \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=k\frac{\pi }{4}\\ 4x=k2\pi \\ 12x=\pi +k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right) \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=k\frac{\pi }{4}\\ x=k\frac{\pi }{2}\\ x=\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{6}\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right) \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=k\frac{\pi }{4}\\ x=\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{6}\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=k\frac{\pi }{4};x=\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{6}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .