Giải phương trình lượng giác: 2sinx.(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx

Đề bài: Giải phương trình lượng giác: 2sinx.(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx

Trả lời

Hướng dẫn giải:

2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx

⇔ 2sinx.(1 + 2cos²x – 1) + 2sinxcosx = 1 + 2cosx

⇔ 2sinx.2cos²x + 2sinxcosx = 1 + 2cosx

⇔ 2sinxcosx(2cosx + 1) = 1 + 2cosx

⇔ 2sinxcosx(2cosx + 1) – (1 + 2cosx) = 0

⇔ (2cosx + 1)(2sinxcosx – 1) = 0

⇔ (2cosx + 1).(sin2x – 1) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}2\cos x+1=0\\ \sin 2x-1=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\cos x=\frac{-1}{2}\\ \sin 2x=1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ x=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi \end{array}\right.\\ 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.(k\in \mathbb{Z})$

$\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ x=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi \end{array}\right.\\ x=\frac{\pi }{4}+k\pi \end{array}\right.(k\in \mathbb{Z})$