Giải phương trình: cos7x.cos5x-- căn bậc hai của 3 sin2x = 1--sin7x.sin5x

Trả lời

Lời giải

Ta có:

\[cos7x.cos5x--\sqrt 3 sin2x = 1--sin7x.sin5x\]

\[ \Leftrightarrow cos7x.cos5x + sin7x.sin5x--\sqrt 3 sin2x = 1\]

\[ \Leftrightarrow cos\left( {7x - 5x} \right)--\sqrt 3 sin2x = 1\]

\[ \Leftrightarrow cos2x--\sqrt 3 sin2x = 1\]

 \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}co{\rm{s2x}} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2{\rm{x = }}\frac{1}{2}\)

\[ \Leftrightarrow {\rm{cos}}\frac{\pi }{3}cos2{\rm{x}} - \sin \frac{\pi }{3}\sin 2{\rm{x}} = \frac{1}{2}\]

\[ \Leftrightarrow {\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{3} + 2{\rm{x}}} \right) = \frac{1}{2}\]

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{3} + 2{\rm{x}} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\\frac{\pi }{3} + 2{\rm{x}} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{x}} = k\pi \\{\rm{x}} = - \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \[{\rm{x}} = k\pi ;{\rm{x}} = - \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].