Giải phương trình: căn (x^3 + 1) = x^2 - 3x - 1

Đề bài: Giải phương trình: $\sqrt{x^3+1}=x^2-3x-1$

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định: $\left\{\begin{array}{l}{x}^3+1\ge 0\\ x^2-3x-1\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge -1\\ \left[\begin{array}{l}x\ge \frac{3+\sqrt{13}}{2}\\ x\ge \frac{3-\sqrt{13}}{2}\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x\ge \frac{3+\sqrt{13}}{2}\\ -1\le x\le \frac{3-\sqrt{13}}{2}\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \sqrt{x^3+1}=x^2-3x-1 \\ \iff \sqrt{(x+1)(x^2-x+1)}=x^2-x+1-2\left(x+1\right) \end{gathered}$$

Đặt $a=\sqrt{x+1}$; $b=\sqrt{x^2-x+1}$ (a ≥ 0, b > 0)

Khi đó, ta có phương trình:

⇔ b² – 2a² = ab

⇔ 2a² + ab – b² = 0

⇔ (a + b)(2a – b) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}a+b=0\left(KTM\right)\\ 2a-b=0\left(TM\right)\end{array}\right.$

⇔ 2a = b

$\iff 2\sqrt{x+1}=\sqrt{x^2-x+1}$

⇔ 4x + 4 = x² – x + 1

⇔ x² – 5x – 3 = 0

Có ∆ = 5² + 3.4 = 37 > 0 ⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

$x_1=\frac{5+\sqrt{37}}{2};x_2=\frac{5-\sqrt{37}}{2}$

Vậy phương trình có 2 nghiệm $x_1=\frac{5+\sqrt{37}}{2};x_2=\frac{5-\sqrt{37}}{2}$