Giải phương trình: căn bậc hai của 3 sin x + cos x = 2cos 2x
Giải phương trình: \[\sqrt 3 \sin x + \cos x = 2\cos 2x\].
Lời giải
Ta có \[\sqrt 3 \sin x + \cos x = 2\cos 2x\]
\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x = \cos 2x\)
\( \Leftrightarrow \cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = \cos 2x\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x = - x + \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).