Giải phương trình: căn (4x^2 + 5x + 1) - 2căn(x^2 - x + 1) = 9x - 3

Đề bài: Giải phương trình: $\sqrt{4x^2+5x+1}-2\sqrt{x^2-x+1}=9x-3$ .

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Đặt $\sqrt{4x^2+5x+1}=a;\sqrt{x^2-x+1}=b$  (a, b ≥ 0).

Ta có: $a^2-4b^2=4x^2+5x+1-4\left(x^2-x+1\right)=9x-3$ .

Khi đó từ phương trình đã cho ta suy ra a – 2b = $a^2-4b^2$

⇔ a – 2b = (a – 2b)(a + 2b)

⇔ (a – 2b)(1 – a – 2b) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}a=2b\\ a=1-2b\end{array}\right.$

TH1: a = 2b 

⇒ $\sqrt{4x^2+5x+1}=2\sqrt{x^2-x+1}\Rightarrow 9x=3\Rightarrow x=\frac{1}{3}$

TH2: a = 1 – 2b

$$\begin{gathered} \Rightarrow \sqrt{4x^2+5x+1}=1-2\sqrt{x^2-x+1} \\ \iff 4x^2+5x+1=1-4\sqrt{x^2-x+1}+4x^2-4x+4 \\ \iff 4\sqrt{x^2-x+1}=4-9x \\ \iff \left\{\begin{array}{l}4-9x\ge 0\\ 16x^2-16x+16=16-72x+81x^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\le \frac{4}{9}\\ 65x^2-56x=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\le \frac{4}{9}\\ x\left(65x-56\right)=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\le \frac{4}{9}\\ \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{56}{65}\end{array}\right.\end{array}\right.\iff x=0 \end{gathered}$$

Thử lại ta thấy x=1/3  thỏa mãn phương trình đã cho.

Vậy x=1/3  là nghiệm của phương trình.