Giải phương trình căn 3 cos (x + pi/2) + sin (x - pi/2) = 2sin2x

Đề bài: Giải phương trình √3cos(x+π2)+sin(x−π2)=2sin2x .

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Ta có cos(x+π2)=−sinx  và sin(x−π2)=−cosx

Do đó phương trình

$\iff -\sqrt{3}\sin x-\cos x=2\sin 2x\iff \sqrt{3}\sin x+\cos x=-2\sin 2x$

$$\begin{gathered} \iff \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x=-\sin 2x\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=-\sin 2x\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\sin \left(-2x\right) \\ \iff \left[\begin{array}{c}x+\frac{\pi }{6}=-2x+k2\pi \\ x+\frac{\pi }{6}=\pi +2x+k2\pi \end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}\\ x=-\frac{5\pi }{6}-k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$

Xét nghiệm $x=-\frac{5\pi }{6}-k2\pi \underset{k\in \mathbb{Z},k^{\text{'}}\in \mathbb{Z}}{\overset{k=-1-k^{\text{'}}}{\to }}x=\frac{7\pi }{6}+k^{\text{'}}2\pi$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x=-\frac{\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3},x=\frac{7\pi }{6}+k^{\text{'}}2\pi \left(k,k^{\text{'}}\in \mathbb{Z}\right)$ .