Giải phương trình: căn 2 (sinx + cosx) - 1 = sinx.cosx

Đề bài: Giải phương trình: $\sqrt{2}\left(\sin x+\cos x\right)-1=\sin x.\cos x$ .

Trả lời

Hướng dẫn giải:

$\sqrt{2}\left(\sin x+\cos x\right)-1=\sin x.\cos x$ (1)

Đặt t = sinx + cosx, $t\in \left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]$

$\Rightarrow t^2-1=2\sin x.\cos x$

(1) $\iff \sqrt{2}t-1=\frac{t^2-1}{2}$

$\iff t^2-2\sqrt{2}t+1=0$

$\iff t=\sqrt{2}+1$ (loại) hay $t=\sqrt{2}-1$  (nhận)

$\iff \sin x+\cos x=\sqrt{2}-1$

$\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$

$\iff x=-\frac{\pi }{4}+\arcsin \left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\right)+k2\pi$ hay $x=\frac{3\pi }{4}-\arcsin \left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\right)+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .