Giải phương trình 5sin^2x + 3sinxcosx – 4cos^2x = 2.

Trả lời

Lời giải

Ta xét phương trình: 5sin²x + 3sinxcosx – 4cos²x = 2 (1)

Với cosx = 0 ta có (1) trở thành:

5sin²x = 2 \( \Leftrightarrow {\sin ^2}x = \frac{2}{5}\) (vô lí vì khi cosx = 0 thì cos²x = 0 nên sin²x = 1)

Với cosx ≠ 0, ta chia 2 vế của (1) cho cos²x được:

\(5.\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + 3.\frac{{sinxcosx}}{{{{\cos }^2}x}} - 4.\frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{2}{{{{\cos }^2}x}}\)

Û 5tan²x + 3tanx – 4 = 2(tan²x + 1)

Û 3tan²x + 3tanx – 6 = 0

Û tan²x + tanx – 2 = 0

Û (tanx – 1)(tanx + 2) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x = - 2\end{array} \right.\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan \left( { - 2} \right) + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\] (thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \[x = \frac{\pi }{4} + k\pi ;\,\,x = \arctan \left( { - 2} \right) + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].