Giải phương trình 5sin^2 x + 3sinxcosx – 4cos^2 x = 2

Câu 23: Giải phương trình 5sin²x + 3sinxcosx – 4cos²x = 2.

Trả lời

Ta xét phương trình: 5sin²x + 3sinxcosx – 4cos²x = 2 (1)

Với cosx = 0 ta có (1) trở thành:

5sin²x = 2  $\iff {\sin }^{2}x=\frac{2}{5}$(vô lí vì khi cosx = 0 thì cos²x = 0 nên sin²x = 1)

Với cosx ≠ 0, ta chia 2 vế của (1) cho cos²x được:

$5.\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}+3.\frac{sinxcosx}{{\cos }^{2}x}-4.\frac{{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{2}{{\cos }^{2}x}$

⇔ 5tan²x + 3tanx – 4 = 2(tan²x + 1)

⇔ 3tan²x + 3tanx – 6 = 0

⇔ tan²x + tanx – 2 = 0

⇔ (tanx – 1)(tanx + 2) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}\tan x=1\\ \tan x=-2\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\arctan \left(-2\right)+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ;x=\arctan \left(-2\right)+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$