Giải phương trình: 1 + tanx = sinx + cosx

Đề bài: Giải phương trình: 1 + tanx = sinx + cosx.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

ĐKXĐ: cosx ≠ 0 $\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Ta có:

1 + tanx = sinx + cosx

$$\begin{gathered} \iff 1+\tan x=\sin x+\cos x \\ \iff 1+\frac{\sin x}{\cos x}=\sin x+\cos x \\ \iff \frac{\cos x+\sin x}{\cos x}=\sin x+\cos x \\ \iff \left(\sin x+\cos x\right)\left(\frac{1}{\cos x}-1\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}\sin x+\cos x=0\\ \frac{1}{\cos x}=1\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{c}\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=0\\ \cos x=1\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{c}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=0\\ \cos x=1\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{c}x+\frac{\pi }{4}=k\pi \\ x=k2\pi \end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$