Giải phương trình: 1/sin 2x + 1/cos2x = 2/sin 4x

Trả lời

Lời giải

Điều kiện xác định \(\left\{ \begin{array}{l}\sin 2{\rm{x}} \ne 0\\cos2{\rm{x}} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} \ne k\pi \\2{\rm{x}} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{x}} \ne \frac{{k\pi }}{2}\\{\rm{x}} \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\)

Ta có \(\frac{1}{{\sin 2{\rm{x}}}} + \frac{1}{{cos2{\rm{x}}}} = \frac{2}{{\sin 4{\rm{x}}}}\)

Þ 2cos2x + 2sin2x = 2

⇔ cos2x + sin2x = 1

⇔ 1 – 2sin²x + 2sinxcosx – 1 = 0

⇔ – 2sinx(sinx – cosx) = 0

⇔ sinx – cosx = 0 (do sin2x ≠ 0 nên sinx ≠ 0)

Û sinx = cosx

\( \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{2} + x + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\0x = \pi - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Kết hợp điều kiện ta được: x ∈ ∅.

Vậy \(x \in \left\{ {k\pi ;\frac{\pi }{4} + k\pi } \right\}\) với k ∈ Z.