Giải hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3x - 2 = 2 - y\\{y^3} - 3y - 2 = 4 - 2z\\{z^3} - 3z - 2 = 6 - 3x\end{array} \right.\).

Theo bài ra ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 2} \right){\left( {x + 1} \right)^2} = 2 - y\,\,(1)\\\left( {y - 2} \right){\left( {y + 1} \right)^2} = 4 - 2z\,\,(2)\\\left( {z - 2} \right){\left( {z + 1} \right)^2} = 6 - 3x\,\,(3)\end{array} \right.\)    

Nhân 3 vế của 3 phương trình với nhau ta được:

\[\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right)\left( {z - 2} \right){\left( {x + 1} \right)^2}{\left( {y + 1} \right)^2}{\left( {z + 1} \right)^2} = - 6\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right)\left( {z - 2} \right)\]

⇔ \(\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right)\left( {z - 2} \right)\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2}{{\left( {y + 1} \right)}^2}{{\left( {z + 1} \right)}^2} + 6} \right]\)= 0

Mà \(\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2}{{\left( {y + 1} \right)}^2}{{\left( {z + 1} \right)}^2} + 6} \right]\)> 0 với mọi x, y, z

Nên: \[\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right)\left( {z - 2} \right)\,\, = \,\,0\]

Suy ra:

\(\left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\y - 2 = 0\\z - 2 = 0\end{array} \right.\) hay \(\left[ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\\z = 2\end{array} \right.\)

Với x = 2, thay vào (1) ta có: y = 2. Thay y = 2 vào (2) tìm được z = 2.

Tương tự với y = 2 và z = 2.

Vậy x = y = z = 2.