Giải hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\\{x^2} + {y^2} - 2xy + 2yz - 2zx + 1 = 0\end{array} \right.\)

Ta có: \({x^2} + {y^2} - 2xy + 2yz - 2zx + 1 = 0\)

\( \Rightarrow {x^2} + {y^2} - 2xy + 2yz - 2zx + \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) - 2z\left( {x - y} \right) + {z^2} + {x^2} + {y^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} - 2z\left( {x - y} \right) + {z^2} + {x^2} + {y^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - y - z} \right)^2} + {x^2} + {y^2} = 0\)

Mà \({\left( {x - y - z} \right)^2} \ge 0;\;{x^2} \ge 0;\;{y^2} \ge 0\) nên suy ra:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y - z = 0\\x = 0\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = x - y\\x = 0\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = 0\\x = 0\\y = 0\end{array} \right.\)

Vậy (x; y; z) = (0; 0; 0) là nghiệm của hệ phương trình.