Giá trị nghiệm nguyên của phương trình: 12x^2 + 6xy + 3y^2 = 28(x + y

Đề bài: Giá trị nghiệm nguyên của phương trình: 12x² + 6xy + 3y² = 28(x + y).

Trả lời

Hướng dẫn giải:

12x² + 6xy + 3y² = 28(x + y)

3y² + 2(3x – 14)y + 12x² – 28x = 0 (1)

Xem (1) là phương trình bậc hai ẩn y, ta có:

$\Delta \text{'}$ = (3x – 14)² – 36x² + 84x = k² ≥ 0

= −27x² + 196 = k² ≥ 0

$\Rightarrow$ 27x² ≤ 196 $\Rightarrow$  x² ≤ 7.

$\Rightarrow$ x ∈ {0; ± 1; ± 2}.

• Với x = 0 thì y = 0;

• Với x = 1 thì y = 8;

• Với x = −1 thì y = 10;

• Với x = ± 2 thì y ∉ ℤ.

Vậy các cặp số nguyên cần tìm là (0; 0); (1; 8); (−1; 10).