Giả sử phương trình ${25}^x+{15}^x={6.9}^x$ có một nghiệm duy nhất được viết dưới dạng $\frac{a}{{\log }_{b}c-{\log }_{b}d}$ với a là số nguyên dương và b, c, d là các số nguyên tố. Tính $S=a^2+b+c+d$.

Chọn B

Ta có: ${25}^x+{15}^x={6.9}^x\iff 5^{2x}+{\left(3.5\right)}^x-{6.3}^{2x}=0\iff {\left(\frac{5}{3}\right)}^{2x}+{\left(\frac{5}{3}\right)}^x-6=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}{\left(\frac{5}{3}\right)}^x=2\\ {\left(\frac{5}{3}\right)}^x=-3\left(ptvn\right)\end{array}\right.\iff x={\log }_{\frac{5}{3}}2=\frac{{\log }_{2}2}{{\log }_2\frac{5}{3}}=\frac{1}{{\log }_{2}5-{\log }_{2}3}$.