Giả sử ABC là tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AH cắt đường tròn (O) tại D. Kẻ đường kính AE của đường tròn (O). Chứng minh:
a, BC song song với DE.
b, Tứ giác BCED là hình thang cân.
a) Từ O kẻ OM vuông góc với AD
Khi đó theo tính chất của đường kính và dây cung thì M là trung điểm AD
Lại có O là trung điểm AE ⇒ MO là đường trung bình của tam giác ADE
⇒ MO // DE , lại có MO // BC (cùng vuông góc với AD)
⇒ DE // BC.
b) Tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn (O) suy ra \[\widehat {ADB} = \widehat {BCA}\]
hay 90° – \(\widehat {ADB}\)= 90° – \(\widehat {BCA}\)
Suy ra: \(\widehat {CBD} = \widehat {ECB}\)
Theo phần a, vì BC // DE nên BCDE là hình thang
Vậy: BCDE là hình thang cân.