Đỉnh A' cách đều các điểm  A,B,D. Tính theo a thể tích V của hình lăng trụ đã cho.

A. $\frac{a^3\sqrt{3}}{6}.$

B. $\frac{3a^3}{2}.$

C. $\frac{a^3\sqrt{3}}{2}.$

D. $a^3\sqrt{3}.$

Trả lời

Chọn C

$ABCD$ là hình thoi và $\widehat{ABC}=120°\Rightarrow \Delta ABD$ đều.
Gọi I là trọng tâm của $\Delta ABD.$
A' cách đều  A,B,D nên $A\text{'}I\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow \left(AA\text{'},\left(ABCD\right)\right)=\widehat{A\text{'}AI}=60°$
Ta có: $AI=\frac{2}{3}AO=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$
$A\text{'}I=AI.\tan \widehat{A\text{'}AI}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.\tan 60°=a.$
Vậy $V=A\text{'}I.S_{ABCD}=A\text{'}I.AB.BC.\sin \widehat{ABC}=a.a.a.\sin 120°=\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$