Để sửa một ngôi nhà cần một số thợ làm việc trong một thời gian quy định. Nếu giảm ba người thì thời gian

Câu 23: Để sửa một ngôi nhà cần một số thợ làm việc trong một thời gian quy định. Nếu giảm ba người thì thời gian kéo dài sáu ngày. Nếu tăng thêm hai người thì xong sớm hai ngày. Hỏi theo quy định cần bao nhiêu thợ và làm trong bao nhiêu ngày. Biết rằng khả năng lao động của mọi thợ đều như nhau?

Trả lời

Gọi số thợ cần thiết là x (người), x ∈ ℕ* , thời gian cần thiết là y (ngày), y > 0.

Số ngày công cần để hoàn thành công việc là: xy (ngày).

Nếu giảm đi 3 người thì thời gian kéo dài 6 ngày. Như vậy, x – 3 người làm trong y + 6 ngày thì xong công việc. Do đó, ta có phương trình (x – 3)(y + 6) = xy.

Nếu tăng thêm 2 người thì xong sớm 2 ngày. Như vậy, x + 2 người làm trong y – 2 ngày thì xong công việc. Do đó, ta có phương trình: (x + 2)(y – 2) = xy.

Ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\left(x-3\right)\left(y+6\right)=xy\\ \left(x+2\right)\left(y-2\right)=xy\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}xy+6x-3y-18=xy\\ xy-2x+2y-4=xy\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}6x-3y=18\\ -2x+2y=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-y=6\\ x-y=-2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=8\\ y=x+2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=8\\ y=10\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy cần 8 người làm trong 10 ngày thì xong công việc.