d) Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AMNB nhỏ nhất.

d) Xét tứ giác AMNB có $\widehat{MAO}=\widehat{NBO}={90}^o$

⇒ AMNB là hình thang vuông

$S_{AMNB}=\frac{\left(AM+BN\right)AB}{2}=\frac{\left(AM+BN\right)2R}{2}=\left(AM+BN\right)R$.

Mà $\left(AM+BN\right).R\ge 2\sqrt{AM.BN}.R$

Mà $\sqrt{AM.BN}=\sqrt{MI.NI}=\sqrt{O{I}^2}=\sqrt{R^2}=R$

⇒ S _AMNB ≥ 2R².

Dấu = xảy ra khi MI = NI hay I là trung điểm MN

⇒ AM = R.

$\Rightarrow OI=\frac{AM+BN}{2}$

Vậy M thuộc (d) và cách A một khoảng bằng R thì S_AMNB = 2R².