Có thể chia một khối lập phương thành bao nhiêu khối tứ diện có thể tích bằng nhau

Đề bài: Có thể chia một khối lập phương thành bao nhiêu khối tứ diện có thể tích bằng nhau mà các đỉnh của tứ diện cũng là đỉnh của hình lập phương?

Trả lời

Hướng dẫn giải: 

Ta chia hình lập phương thành 6 khối tứ diện bằng nhau như sau:

+ Chia khối lập phương $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ thành hai khối lăng trụ tam giác bằng nhau: ABC.A'B'C' và  BCD.B'C'D'

+ Tiếp theo, lần lượt chia khối lăng trụ $ABD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ và $BCD.B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ thành ba tứ diện: $DAB{B}^{\text{'}};DA{A}^{\text{'}}B$ và  $DCB{B}^{\text{'}},DC{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}},D{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}.$

+ Ta chứng minh được các khối tứ diện này bằng nhau như sau:

-        Hai khối tứ diện DABB' và DAA'B' bằng nhau vì chúng đối xứng nhau qua mặt phẳng (DAB')         (1)

-        Hai khối tứ diện DAA'B' và DD'A'B' bằng nhau vì chúng đối xứng nhau qua mặt phẳng (B'A'D)         (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba khối tứ diện $DAB{B}^{\text{'}},DA{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$ và $D{D}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$ bằng nhau.

-        Tương tự, ba khối tứ diện $DCB{B}^{\text{'}},DC{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}},D{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$ cũng bằng nhau.

Vậy khối lập phương $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ được chia thành sáu khối tứ diện bằng nhau.