Có bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn\(\frac{{A_{n + 4}^4}}{{\left( {n + 2} \right)!}} < \frac{{15}}{{\left( {n - 1} \right)!}}\)

Điều kiện xác định n ≥ 1

\(\frac{{A_{n + 4}^4}}{{\left( {n + 2} \right)!}} < \frac{{15}}{{\left( {n - 1} \right)!}}\)

⇔ \(\frac{{(n + 4)(n + 3)}}{n} < 15\)

⇔ n² + 7n + 12 < 15n

⇔ n² – 8n + 12 < 0

⇔ 2 < n < 6

Suy ra n ∈ {3; 4 ; 5}

Vậy có 3 số tự nhiên thỏa mãn là 3, 4, 5.