Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc (-10,+ vô cùng) để hàm số y= |x^3+(a+2)x+9-a^2 đồng biến trên khoảng (0,1) ?

A. 12

B. 11

C. 6

D. 5

Trả lời

Chọn B

Xét $f\left(x\right)=x^3+\left(a+2\right)x+9-a^2$

$f\text{'}\left(x\right)=3x^2+a+2$

Để $y=\left|f\left(x\right)\right|$ đồng biến trên khoảng $\left(0;1\right)$

TH1:$\left\{\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)\ge 0,\forall x\in \left(0;1\right)\\ f\left(0\right)\ge 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}3x^2+a+2\ge 0,\forall x\in \left(0;1\right)\\ 9-a^2\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a\ge \underset{\left(0;1\right)}{Max}\left(-3x^2-2\right)\\ 9-a^2\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a\ge -2\\ -3\le a\le 3\end{array}\right.\Rightarrow a\in \left[-2;3\right]$

$a=\left\{-2;-1;0;1;2;3;\right\}$ → 6 giá trị

TH2:$\left\{\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)\le ,\forall x\in \left(0;1\right)\\ f\left(0\right)\le 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}3x^2+a+2\le 0,\forall x\in \left(0;1\right)\\ 9-a^2\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a\le \underset{\left(0;1\right)}{Min}\left(-3x^2-2\right)\\ 9-a^2\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a\le -5\\ \left[\begin{array}{l}a\ge 3\\ a\le -3\end{array}\right.\end{array}\right.\Rightarrow a\le -5$

Kết hợp với điều kiện bài toán $a=\left\{-9;-8;-7;-6;-5\right\}$ → 5 giá trị

Vậy có 11 giá trị thoả mãn.