Cho khối lăng trụ đứng ABCA'B'C có đáy ACB là tam giác vuông cân tại B, $AB=a$. Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng $\left(A^{\text{'}}BC\right)$ bằng $\frac{\sqrt{6}}{3}a$, thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

Chọn B

Kẻ $AH\perp A^{\text{'}}B$, $H\in A^{\text{'}}B$.

Vì$\left.\begin{array}{l}BC\perp AB\\ BC\perp A{A}^{\text{'}}\end{array}\right\}\Rightarrow BC\perp \left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)$

 $\Rightarrow BC\perp AH$.

Ta có $BC\perp AH,AH\perp A^{\text{'}}B\Rightarrow AH\perp \left(A^{\text{'}}BC\right)$. Do đó $d\left(A,\left(A^{\text{'}}BC\right)\right)=AH=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Xét tam giác vuông  $A{A}^{\text{'}}B$ vuông tại A , ta có$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A^{\text{'}}{A}^2}+\frac{1}{A{B}^2}\Rightarrow \frac{1}{A^{\text{'}}{A}^2}=\frac{1}{A{H}^2}-\frac{1}{A{B}^2}$

$\Rightarrow \frac{1}{A^{\text{'}}{A}^2}=\frac{9}{6a^2}-\frac{1}{a^2}=\frac{1}{2a^2}\Rightarrow A^{\text{'}}A=a\sqrt{2}$.

Vậy .$V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=S_{\Delta ABC}.A^{\text{'}}A=\frac{1}{2}a.a.a\sqrt{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{2}$